✎ Dénombrement des k-uplets (ou k-listes)

Méthode  Dénombrer des  \(\boldsymbol k\) -uplets.

Lors du lancer d'une pièce de monnaie, on note \(E\) l'ensemble des résultats possibles : « Pile », noté \(\text P\) , et « Face », noté \(\text F\) .
\(E = \{ \text P ~;~ \text F \}\) .
On lance trois fois de suite la pièce de monnaie.
On forme donc des listes de trois éléments (des \(3\) -uplets) pris parmi les éléments de \(E.\)

Utilisation d'un arbre

Il y a deux possibilités pour le premier élément ( \(\text P\) ou \(\text F\) ), deux possibilités pour le deuxième élément ( \(\text P\) ou \(\text F\) ) et   deux possibilités pour le troisième élément ( \(\text P\) ou \(\text F\) ).
Ainsi, le nombre de chemins différents est de \(2 × 2 × 2 = 8\) .
Le nombre de  \(3\) -uplets est \(8.\)

Utilisation de cases
Au lieu de représenter un arbre, on peut chercher à former des « mots » de trois lettres, en utilisant les lettres \(\text P\) et \(\text F\) .
Il y a deux possibilités pour la première lettre   ( \(\text P\) ou \(\text F\) ), deux possibilités pour la deuxième lettre ( \(\text P\) ou \(\text F\) ) et deux possibilités pour la troisième lettre   ( \(\text P\) ou \(\text F\) ).
Il y a :  \(2 × 2 × 2 = 8\) mots différents possibles formés avec les lettres \(\text P\) et \(\text F\) . 
Le nombre de  \(3\) -uplets est donc \(8\) .
L'ensemble de ces listes de \(3\) éléments est : \(\{ \mathrm {PPP ~;~ PPF ~;~ PFP ~;~ PFF ~;~ FPP ~;~ FPF ~;~ FFP ~;~ FFF} \}\) .

Propriété

Le nombre de listes de  \(k\) éléments pris dans un ensemble \(E\) à \(​n\) éléments est :  \(\boxed{n^k}\) .